- Nos
interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo
que,
- el
tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t,
hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende
del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
- El
tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El
conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para,
por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante
la técnica del carbono 14, C14;
- El
tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada
de un paciente;
- En un
proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a
intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia
de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial.
Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una
herida importante.
Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo
de , es tal que su función
de densidad es
se dice que sigue una distribución exponencial de
parámetro , .
Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,
luego la función de distribución es:
Figura: Función de distribución, F,
de , calculada como el área que deja
por debajo de sí la función de densidad.
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Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución
exponencial, obtenemos en primer lugar la función característica
Entonces la varianza vale
En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos
de .
Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días,
¿cuantos idas transcurrirán hasta que haya desaparecido el de este material?
Como el número de átomos de existentes en una
muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado
por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser
extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo
modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a
la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo que
transcurre hasta que el del material radiactivo
se desintegra es el percentil 90, t90, de la
distribución exponencial, es decir
Figura: Como el número de átomos (observaciones) es
extremadamente alto en 10 gramos de materia, el histograma puede ser
aproximado de modo excelente por la función de densidad exponencial, y el
polígono de frecuencias acumuladas por la función de distribución.
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Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo
de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es
la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este
marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva
funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de
que haya que cambiarlo antes de años?
Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de
un marcapasos en una persona. Tenemos que
Entonces
En segundo lugar
o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada
el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que
``la distribución exponencial no tiene memoria".
En general me gusta su blog, trae los comentarios oportunos y puntuales pero no tan sintéticos, ya que debían hablar acerca del trabajo que es una función de probabilidad a diferencia de la función masa de probabilidad, etcétera cosas de ese índole.
ResponderEliminarPero en general salvo por los vídeos y la fuente de la información están bien.