Jazmin Y Norma
Media
aritmética:
Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de
datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de
datos cuantitativos
En
matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio
o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor
característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte
del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir
de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el
conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral
siendo uno de los principales estadísticos muestrales.
Expresada
de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad
total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.
Por
ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen
en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y
dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una
forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo)
suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la
variable.
También
la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una
distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.
Una
de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy
sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla mientras
que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de
ser representativa de la población..
Es el valor que ocupa el lugar central de
todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 .Ordenamos
los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central
de la misma.
2, 3, 4, 4, 5,
5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las
dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10,
11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada
llega hasta la mitad de la suma de las
frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el
intervalo en el que se encuentre 
.
Li
es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
Es la semisuma de las frecuencias
absolutas.
Fi-1
es la frecuencia acumulada anterior a la
clase mediana.
ai
es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de
las amplitudes de los intervalos.
Media aritmética para datos no
agrupados
Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple
para datos poblaciones y muestrales:
Observe que la variación de ambas fórmulas radica en
el tamaño de los datos (N identifica el tamaño de la población,
mientras que n el de la muestra).
Ejemplo:
la media aritmética para datos no agrupados
El profesor
de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de
los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:
|
3,2
|
3,1
|
2,4
|
4,0
|
3,5
|
|
3,0
|
3,5
|
3,8
|
4,2
|
4,0
|
¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la
clase?
SOLUCIÓN
Aplicando la fórmula para datos no agrupados tenemos:
Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una
población correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en
total). El promedio de las notas es de 3,47.
Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos
nuevamente la media aritmética.
En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15. Esta
variación notoria se debió a que la media aritmética es sensible a los valores
extremos cuando tratamos con pocos datos. El 0,0 es una nota atípica comparada
con las demás, que están ubicadas entre 3,0 y 4,2.
Media
aritmética para datos agrupados
En el capitulo 2 explicábamos dos tipos de tablas de
frecuencias (A y B). Cuando los datos se agrupan en tablas tipo A, la media
aritmética es igual a la división de la sumatoria del producto de las clases
por la frecuencia sobre el número de datos.
La sumatoria parte desde el primer intervalo de clase
(i = 1) hasta el último (Nc), siendo Xi la clase del intervalo i.
Cuando los datos se agrupan en tablas de frecuencias
tipo B, el cálculo de la media varía un poco, ya que existe una pérdida de
información en el momento en que se trabaja con intervalos de frecuencia y no
con los datos directamente (los datos se agrupan por intervalo, desconociendo
el valor exacto de cada uno de ellos).
Las marcas de clases (Mc) cumple la función de
representar los intervalos de clase.
Ejemplo:
media aritmética para datos agrupados en tablas tipo A
|
Preguntas Buenas
|
Personas
|
|
1
|
15
|
|
2
|
13
|
|
3
|
8
|
|
4
|
19
|
|
5
|
21
|
|
6
|
5
|
La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de
preguntas de 81 encuestados sobre un Test que consta de solo seis preguntas.
SOLUCIÓN
PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante de las
clases por su frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media,
deberíamos sumar 15 veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3,
hasta llegar a la última clase:
PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de
datos.
En promedio los encuestados contestaron
aproximadamente 3 (el valor exacto es 3,41) preguntas buenas.
Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en
tablas tipo B
Calcular la media para los datos distribuidos en la
siguiente tabla de frecuencia:
|
Ni
|
Lm
|
Ls
|
f
|
Mc
|
|
1
|
40,0
|
48,1
|
3
|
44,1
|
|
2
|
48,1
|
56,1
|
8
|
52,1
|
|
3
|
56,1
|
64,1
|
11
|
60,1
|
|
4
|
64,1
|
72,1
|
32
|
68,1
|
|
5
|
72,1
|
80,1
|
21
|
76,1
|
|
6
|
80,1
|
88,1
|
18
|
84,1
|
|
7
|
88,1
|
96,1
|
14
|
92,1
|
|
8
|
96,1
|
104,0
|
1
|
100,1
|
SOLUCIÓN
Las marcas de clase representan a los intervalos de
clase, por ejemplo, suponemos que la marca de clase para el primer intervalo
(44,1) se repite 3 veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro
de dicho intervalo.
PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante entre
las marcas de clase por su frecuencia absoluta.
PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de
datos.
Ejemplo:
comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados y
datos agrupados en tablas tipo B
Calcular la media aritmética a los siguientes datos
sin agrupar y agrupándolos en una tabla de frecuencia tipo B (suponga que los
datos son poblacionales):
|
47,8
|
23,1
|
12,4
|
35,4
|
44,0
|
26,2
|
|
18,6
|
11,0
|
32,0
|
12,4
|
49,4
|
41,4
|
|
18,6
|
21,0
|
26,3
|
11,1
|
21,4
|
30,6
|
|
12,8
|
43,1
|
18,1
|
38,1
|
16,8
|
12,4
|
|
33,6
|
40,9
|
15,2
|
33,2
|
48,2
|
37,0
|
SOLUCIÓN
Calculemos la media para los datos sin agrupar:
Luego construyamos la tabla tipo B y calculemos su media
aritmética con el fin de comparar ambos resultados:
|
Ni
|
Lm
|
Ls
|
f
|
Mc
|
|
1
|
11,00
|
17,41
|
8
|
14,21
|
|
2
|
17,41
|
23,81
|
6
|
20,61
|
|
3
|
23,81
|
30,21
|
2
|
27,01
|
|
4
|
30,21
|
36,61
|
5
|
33,41
|
|
5
|
36,61
|
43,01
|
4
|
39,81
|
|
6
|
43,01
|
49,40
|
5
|
46,21
|
|
Total
|
30
|
|
PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante entre las
marcas de clase por su frecuencia absoluta.
PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de
datos.
Podemos ver claramente una diferencia entre ambas
medias: 27,74 para los datos no agrupados y 28,29 para los datos agrupados.
Esta diferencia radica que en la tabla tipo B existe una perdida de
información, al agrupar los datos en los intervalos de clase. El valor de la
media exacta es el calculado para los datos no agrupados, pero dada la
proximidad de la media para los datos agrupados, se tomar esta última como
cierta.
