Las medidas de distribución nos
permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores de acuerdo a su representación gráfica. Estas medidas describen
la manera como los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia con
que se hallen dentro de la información. Su utilidad radica en la posibilidad de
identificar las características de la distribución sin necesidad de generar el
gráfico. Sus principales medidas son la Asimetría
Variable
aleatoria
Es una variable cuyos valores se
obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Una variable
aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de
tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su
suma). Una variable aleatoria (v.a.) es una función real definida en el espacio
muestral asociado a un experimento aleatorio, Ω.
·
Variables
aleatorias discretas
Es discreta si su recorrido es un
conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus
probabilidades se recogen en la función de cuantía
·
Variables
aleatorias continuas
Es continua si su recorrido no es un
conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles
valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo,
la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada
población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre,
pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.
Distribución
de probabilidad de una variable aleatoria.
La distribución de probabilidad de una
variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la
variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución
de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de
valores de la variable aleatoria. Cuando la variable aleatoria toma valores en
el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está
completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada
real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
Esperanza
matemática
Es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso.
·
Supuestos
sobre las preferencias
Los economistas suelen partir de
algunos supuestos sobre la "compatibilidad" de las preferencias de
los consumidores. Por ejemplo, parece poco razonable – por no decir
contradictoria – una situación en la que (x1, x2) > (y1, y2) y, al mismo tiempo,
(y1, y2) > (x1, x2), pies significaría que el consumidor prefiere
estrictamente la cesta X a la Y… y viceversa. Por esa razón, normalmente los
economistas parten de una serie de supuestos sobre las relaciones de
preferencia. Algunos son tan importantes que podemos llamarlos
"axiomas" de la teoría del consumidor. He aquí tres de ellos. Decimos
que las preferencias son:
Completas. Suponemos que es posible comparar dos
cestas cualesquiera. Es decir, dada cualquier cesta X y cualquier cesta Y,
suponemos que (x1, x2) ≥ (y1, y2) o (y1, y2) ≥ (x1, x2) o las dos cosa, en cuyo
caso, el consumidor es diferente entre las dos cestas.
Reflexivas. Suponemos que cualquier cesta es al
menos tan buena como ella misma; (x1, x2) ≥ (y1, y2). Transitivas. Si (x1, x2)
≥ (y1, y2) y (y1, y2) ≥ (z1, z2), suponemos que (x1, x2) ≥ (y1, z2). En otras
palabras, si el consumidor piensa que la cesta X al menos tan buena como la Y y
la que la Y al menos tan buena como la Z, piensa que la X es la menos tan buena
como la Z
VARIANZA
En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como
) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida
como la esperanza del cuadrado de la desviación
de dicha variable respecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la
variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza
se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar, es la raíz
cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en
las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza
tiene como valor mínimo 0.
Hay que tener en cuenta que la varianza puede
verse muy influida por los valores atípicos y no se
aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen
colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de
dispersión más robustas.
El término varianza fue acuñado por Ronald
Fisher en un artículo de 1918 titulado TheCorrelationBetweenRelativesontheSupposition
of MendelianInheritance.
Definición
Dada una variable aleatoria X con media μ = E(X), se define su
varianza, Var(X) (también
representada como o,
simplemente σ2), como.
Desarrollando la definición anterior, se obtiene
la siguiente definición alternativa (y equivalente):
Si una distribución no tiene esperanza, como
ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza.
Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza.
Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k
satisface 1 <k ≤ 2.
Caso
Continuo
Donde
Caso
Discreto
EJEMPLOS
Distribución Exponencial
La distribución exponencial de
parámetro λ es una distribución continua con soporte en el intervalo [0, ∞) y
función de densidad
Tiene media μ = λ−1. Por lo tanto, su
varianza es:
Es decir, σ2 = μ2.
Dado
Perfecto
Un dado de seis
caras puede representarse como una variable aleatoria discreta que toma,
valores del 1 al 6 con probabilidad igual a 1/6. El valor
esperado es (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Por lo tanto, su varianza es:
Propiedades
de la Varianza
Algunas propiedades de la varianza son:
Siendo a y b números reales
cualesquiera. De esta propiedad se deduce que la varianza de una constante es
cero, es decir,
Varianza Muestral
En muchas situaciones es preciso estimar la
varianza de una población a partir de una muestra. Si se toma una muestra con
reemplazamiento de n
valores de ella, de entre todos los estimadores posibles de
la varianza de la población de partida, existen dos de
uso corriente:
y
Cuando los datos están agrupados:
A los dos (cuando está dividido por n y cuando
lo está por n-1) se los denomina varianza
muestral. Difieren ligeramente y, para valores grandes de n, la
diferencia es irrelevante. El primero traslada directamente la varianza de la
muestra al de la población y el segundo es un estimador insesgado de la
varianza de la población. De hecho,
Mientras que
Propiedades de la Varianza
Muestral
Como consecuencia de la igualdad , s2 es un estadístico
insesgado de . Además, si
se cumplen las condiciones necesarias para la ley de los grandes números, s2
es un estimador consistentede .
Más aún, cuando las muestras siguen una distribución normal, por el teorema de Cochran, tiene la distribución chi-cuadrado:
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
La desviación
estándar o desviación típica
(denotada con el símbolo σ) es una medida
de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de
intervalo, de gran utilidad en la estadística
descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este
valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media
de distancias que tienen los datos respecto de su media
aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta
con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer
también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la
media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los
mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos
para la toma de decisiones.
Formulación Muestral
La varianza representa la
media aritmética de las desviaciones con respecto a la media que son
elevadas al cuadrado.
Si atendemos a la
colección completa de datos (la población en su
totalidad) obtenemos la varianza poblacional; y si por el contrario prestamos
atención sólo a una muestra de la
población, obtenemos en su lugar la varianza muestral. Las expresiones de estas
medidas son las que aparecen a continuación donde nos explican mejor el texto.
Expresión de la
varianza muestral:
Segunda forma de
calcular la varianza muestral:
podemos observar
que como
(Sumamos n veces
1 y luego dividimos por n)
Y como
obtenemos
Expresión de la varianza poblacional:
Donde es el valor medio de
Expresión de la desviación estándar poblacional:
Por la formulación de la varianza podemos pasar a obtener
la desviación estándar, tomando la raíz cuadrada positiva
de la varianza. Así, si
efectuamos la raíz de la varianza muestral, obtenemos la desviación típica
muestral; y si por el contrario, efectuamos la raíz sobre la varianza
poblacional, obtendremos la desviación típica poblacional.
Expresión de la desviación
estándar muestral:
También puede ser tomada como
Conacomo y s como
Además se puede tener una mejor tendencia de medida al
desarrollar las formulas indicadas pero se tiene que tener en cuenta la media,
mediana y moda.
Interpretación y Aplicación
La desviación estándar es una medida
del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de
otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o
variación esperada con respecto a la media
aritmética.
Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8,
14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar
muestrales son 8,08; 5,77 y 1,15 respectivamente. La
tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus
valores están más cerca de 7.
La desviación estándar puede ser interpretada como una
medida de incertidumbre. La
desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando
se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo
teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la
media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la
distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las
medidas contradicen la teoría. Esto es
coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual
sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto.
La desviación estándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra
la agrupación de los datos alrededor de un valor central (la media o promedio).
Desglose
La desviación
estándar (DS/DE), también llamada desviación típica, es una medida de dispersión usada en
estadística que nos
dice cuánto tienden a alejarse los valores concretos del promedio en una
distribución. De hecho, específicamente, la desviación estándar es "el
promedio del cuadrado de la distancia de cada punto respecto del
promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma, .
La desviación estándar de un conjunto de datos es una
medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta medida es más estable
que el recorrido y toma
en consideración el valor de cada dato.
Distribución de Probabilidad
Continua
Es posible calcular la desviación estándar de una variable
aleatoria continua como la raíz cuadrada de la
integral
donde
Distribución de Probabilidad
Discreta
Así la varianza
es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media
aritmética de la distribución.
Aunque esta
fórmula es correcta, en la práctica interesa realizar inferencias
poblacionales, por lo que en el denominador en vez de n, se usa n-1 (Corrección de Bessel).
También hay otra
función más sencilla de realizar y con menos riesgo de tener equivocaciones:
Bueno este mi comentario o mi conclusión este que toda la información que hemos subido es muy buena ya que trae ejemplo y definiciones acerca de cada enciso que nos toco a cada uno de los integrantes del equipo.
ResponderEliminarEstos temas no los dividimos parejas dando a cada quien su papel que anteriormente habíamos dio.
Este documento o información es excelente ojal y le guste a usted profesor y compañeros
Mi comentario es que esta información es importante xk la utilizamos en la vida.
ResponderEliminarYa k más adelante nos pobra servir es importante k la lean
oooooooookkkk
Bueno para mi este fue un proyecto un poco pesado pero bastante interesante ya que la mayoria de estos temas los utilizamos en la vida diaria que temos me agrado mucho trabajar con mi equipo ya que siempre nos apoyamos mutuamente desde que inicio el proyecto de este blog estamos muy contentos de aver acabado este semestre aprendiendo algo mas de las matematicas que un dia utilizaremos espero que les agrade este blog compañeros y profesor gracias por todo :D
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