v La distribución binomial o de Bernoulli
La distribución binomial está asociada a
experimentos del siguiente tipo:
- realizamos n veces cierto experimento en el
que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso.
- la obtención de éxito o fracaso en cada
ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás
ocasiones.
- la probabilidad de obtener éxito o fracaso
siempre es la misma en cada ocasión.
v
Estos son algunos ejemplos de la distribución
binomial:
Si realizamos n veces un experimento en el que
podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q
= 1 − p), diremos que estamos ante una distribución binomial de parámetros n y
p, y lo representaremos por Bin (n;p). En este caso la probabilidad de obtener
que éxitos viene dada por:
p(X = k) = (n) ・ pk ・ q(n−k)
k
Es bueno saber que las
probabilidades de éxito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =
1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.
Antes teníamos Bin ( 7;1/6) y queríamos calcular p (x=3)= (7). (1) 3. (5)4 = 0.0781
3 6 6
v
El uso de las tablas de la
distribución binomial
La distribución binomial se encuentra
tabulada por lo que es fácil calcular probabilidades sin Necesidad de hacer
demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribución binomial es necesario conocer:
v
El número de veces que se
realiza el experimento (n).
v
La
probabilidad de éxito
(p).
v
El número de éxitos (k).
v
La
probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0’01
hasta 0’5).
v
El número de veces que se realiza el experimento, en la
primera columna (valores desde 2 a 10) y el número de éxitos a su lado
Media y desviación típica en una distribución binomial
Aunque no se demostrara, en una distribución
binomial Bin(n;p), el número esperado de éxitos o media, viene dado por ￣x = n ・ p. (Recordemos que la media es una medida de centralización).
La distribución Normal
Al estudiar aspectos tan cotidianos como:
v Caracteres morfológicos de individuos (personas,
animales, plantas) de una misma raza. Como tallas, pesos, envergaduras, etc.
v Caracteres fisiológicos, como el efecto de una
misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.
v Caracteres sociológicos, como el consumo de
ciertos productos por individuos de un mismo grupo humano.
v Caracteres psicológicos, como el cociente
intelectual, grado de adaptación a un medio.
v Caracteres físicos, como la resistencia a la
rotura de ciertas piezas. . . todos ellos tienen en común que se distribuyen
“normalmente”. .Que quiere decir esta expresión?
Ejemplo
Si hacemos una estadística para conocer la
altura de 1400 mujeres y representamos los resultados en un diagrama de barras,
obtenemos:
Uso de las tablas de la distribución normal N(0;1)
La normal N(0;1) se encuentra tabulada, para
valores a partir de 0 y hasta 3’99. Si ejemplo
Queremos calcular p(Z ≤ 2_78), hemos de realizar
los pasos:
1. Buscar la parte entera y las decimas en la
primera columna (en este caso 2’7).
2. Buscar las centésimas en la primera fila (en
este caso 8).
3. En el punto común a la fila y la columna que
hemos encontrado, tenemos la probabilidad buscada, en este caso 0’9973.
Por tanto p(Z ≤ 2_78) = 0_9973.
Si queremos calcular una probabilidad de un
valor mayor que 3’99, basta fijarse en que las probabilidades correspondientes
a valores tales como 3’62 y mayores ya valen 0’9999 (prácticamente 1). Por eso,
para estos valores mayores que 3’99, diremos que la probabilidad es
aproximadamente 1. Asi:
p(Z ≤ 5_62) ≈ 1
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EJEMPLOS Y CON MAS INFORMACION HACERCA DEL TEMA:
v Factores
de corrección por continuidad
Al realizar la aproximación se hace un
pequeño ajuste ya que debido a quela normal es una distribución continua, la
probabilidad de que la variable aleatoria sea exactamente igual a un valor
específico es cero. Este ajuste se denomina factor de corrección.
El factor de corrección de
continuidad es el ajuste de media unidad de medida para mejorar la exactitud
cuándo a una distribución discreta se le aplica una distribución continua.
Casos que pueden surgir:
1) Para la probabilidad de que por lo menos X ocurran,
use el área por encima de(X ± 0,5).
2) Para la de que más de X sucedan, utilice el área
por arriba de (X + 0,5).
2) 3) Para la de que X o menos ocurran, aplique el área
por debajo de (X + 0,5).
3) 4) Para la de que menos de X sucedan, emplee el área
situada por debajo de (X ±0,5).
La fórmula para calcular la probabilidad
de una distribución muestral deproporciones se basa en la aproximación de la
distribución binomial a las distribución normal. Si la distribución muestral de
proporciones se puede calcular con la aproximación a una distribución normal de
probabilidades, hay que realizar una corrección por continuidad, que dará un
resultado másexacto. El factor de correcciónde continuidad es:(1/2)(1/n)
Este factor de corrección
se sumara o restara según sea el caso:
1)
Para la probabilidad de que
almenos ( > ) x ocurra, se resta el factor
2) .2) Para la probabilidad de que ocurra más que x,
se suma el factor
3) .3) Para la probabilidad de que x o menos ocurra,
se suma el factor.
4)
Para la probabilidad de que
ocurra menos de x, se resta el factor.
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