En probabilidad y estadística, una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma).
Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.
Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).
Supongamos que se lanzan dos
monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados
elementales posibles asociado al experimento, es
Donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el
número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X
como la función
dada por
El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto
Caracterización de variables aleatorias
Tipos de variables aleatorias
Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de
variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un
conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si
sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer
elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente.5
- Variable
aleatoria discreta: una v.a. es discreta si
su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es
discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía
(véanse las distribuciones de variable discreta).
- Variable
aleatoria continua: una v.a. es continua si
su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto
significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo
un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una
variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por
caso, 0 y 2,50 m, es posible.6
(véanse las distribuciones de variable continua)
- Variable
aleatoria independiente: Supongamos que
"X" e "Y" son variables aleatorias discretas. Si los
eventos X = x / Y = y son variables aleatorias independientes. En tal
caso: P(X = x, Y = y) = P( X = x) P ( Y = y).
De manera equivalente: f(x, y)
= f1(x).f2 (y).
Inversamente, si para todo
"x" e "y" la función de probabilidad conjunta f(x,y) no
puede expresarse sólo como el producto de una función de "x" por una
función de "y" (denominadas funciones de probabilidad marginal de
"X" e "Y" ), entonces "X" e "Y" son dependientes.
Si "X" e
"Y" son variables aleatorias continuas, decimos que son variables
aleatorias independientes si los eventos "X ≤ x", e "Y ≤ y"
y son eventos independientes para todo "x" e "y" .
De manera equivalente: F(x,y)
= F1(x).F2(y), donde F1(x) y F2(y) son las funciones de distribución (marginal)
de "X" e "Y" respectivamente.
Inversamente, "X" e
"Y" son variables aleatorias dependientes si para todo
"x" e "y" su función de distribución conjunta F(x,y) no
puede expresarse como el producto de las funciones de distribución marginales
de "X" e "Y".
Para variables aleatorias
independientes continuas, también es cierto que la función de densidad conjunta
f(x,y)es el producto de las funciones densidad de probabilidad marginales de
"X", f1(x), y de "Y", f2(y).
En teoría de la probabilidad, una función de probabilidad (también
denominada función de masa de probabilidad) es una función que asocia a
cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de
que ésta lo asuma.
La gráfica de una función de
probabilidad de masa, note que todos los valores no son negativos, y la suma de
ellos es igual a 1.
La función de masa de
probabilidad de un Dado. Todos los números tienen la misma probabilidad de aparecer cuando este
es tirado.
En concreto, si el espacio
muestra, E de la variable aleatoria X consta de los puntos x1,
x2,..., xk, la función de probabilidad P
asociada a X es
Donde pi es
la probabilidad del suceso X = xi.
Por definición de
probabilidad,
En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza,
valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria , es el número que formaliza la idea de valor medio de un
fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria
es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible
suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo
tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de
un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene
constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que
el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser
"esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la
esperanza puede ser improbable o incluso imposible.
Por ejemplo, el valor esperado
cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo
y cabe destacar que 3,5 no es
un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos
son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.
Una aplicación común de la
esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de
azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La
ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir,
cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que
recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38
posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un
solo número es:
Que es -0,0526
aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos
por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474
euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es
cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".
Nota: El primer paréntesis es
la "esperanza" de perder tu apuesta de $1, por eso es negativo el
valor. El segundo paréntesis es la esperanza matemática de ganar los $35. La
esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor
esperado a perder.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.
En teoría
de la probabilidad la distribución
hipergeométrica es una distribución
discreta relacionada con muestreos aleatorios y
sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de
los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B.
La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ()
elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la
población original.
Los experimentos que tienen este tipo de
distribución tienen las siguientes características:
a)
Al realizar un experimento con este
tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.
b)
Las probabilidades asociadas a cada uno
de los resultados no son constantes.
c)
Cada ensayo o repetición del
experimento no es independiente de los demás.
d)
El número de repeticiones del
experimento (n) es constante.
Ejemplos:
- Para evitar que lo
descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene
9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de
la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál
es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de
narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por
posesión de narcóticos?
Solución:
a) N = 9+6 =15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable
que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al
seleccionar las 3 tabletas
p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos)
= p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de
narcótico)
otra forma de resolver;
p(el viajero sea arrestado por posesión de
narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas
seleccionadas no haya una sola de narcótico)
Distribución Geométrica
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución
geométrica es cualquiera de las dos distribuciones
de probabilidad discretas siguientes:
- la distribución de probabilidad del número X del ensayo
de Bernoulli
necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
- la distribución de probabilidad del número Y = X − 1
de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2,
3,... }.
Propiedades
Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p,
entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener
un éxito es
para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la
probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es
para x = 0, 1, 2, 3,....
En ambos casos, la secuencia de probabilidades es
una progresión
geométrica.
El valor esperado de una variable
aleatoria
X distribuida geométricamente es
y dado que Y = X-1,
En ambos casos, la varianza es
Las funciones generatrices de probabilidad de X y la
de Y son, respectivamente,
La distribución
exponencial,
la distribución geométrica carece de memoria. Esto significa que si intentamos
repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer
éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del
número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado.
El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos.
La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin
memoria.
. Ejemplo:
Del salon
el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er
hombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno.
Definir
éxito: sea hombre.
x = 4
p = 0.60
q = 0.40
Ejemplo:2
Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez que lanzamos un
dado.
Definir
éxito: sale No. 5
x = 3
p = 1/6 =
0. 1666
q = (1 -
0.16660) = 0.8333
P(X=3) =
(0.8333)2(0.1666) =0.1156
Ejemplo:
3
Calcular
la probabilidad de que salga águila la 6ta ocasión que lanzamos una moneda.
Definir
éxito: salga águila.
x = 6
p = 1/2=
0.5
q = 0.5
P(X=6) =
(0.5)5(0.5)= 0.0156
Alarcon Soberano Norma:
ResponderEliminarEste trabajo es muy imporante habla de varioos temas importantes en el se encuentran graficas, formulas e imagenes que nos ayudan a entender sobre los temas
Hernandez Arias Carlos:
ResponderEliminarES muy buena la informacion que nos brinda este blog ya que nos muestra ejemplos y todas las caracteristicas sobre el tema ami me parece exelente *w*