jueves, 7 de junio de 2012

F. Calculo de la probabilidad en la distribucion uniforme


Hemos visto que un histograma es una manera conveniente de visualizar la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria X y que, si usamos subdivisiones de 1 unidad, entonces la probabilidad P(cDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngd) se calcula como la área bajo el histograma entre X=c y X=d. Por otro lado, hemos también visto que puede ser difícil calcular probabilidades para rangos de X que no son un número entero de subdivisiones. Para introducir la solución de este problema, vamos a ver el siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:
Descripción: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/exicon.gifEjemplo 1 Edad de un coche alquilado
Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un coche alquilado:
Edad (Años)
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
Probabilidad
.10
.26
.28
.20
.11
.04
.01
El histograma de la distribución de probabilidad se muestra a la izquierda de la figura más abajo, sugiriendo una curva como esta mostrada a la derecha. (Hay muchas curvas parecidas que se sugiere el histograma. El problema de hallar la curva más apropiada para una situación específica es un tema que consideremos más abajo.)
x
     
x
     
La curva a la derecha es la gráfica de cualquier función f, que se llama una función de densidad de probabilidad. Tomamos para el dominio de f el intervalo [0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.png+Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char31.png), pues este intervalo es el rango de los valores posibles que pueden tomar X (en principio). Además, usamos x para referir a valores particulares de X, así que no es coincidencia que aquellos valores son mostrados en el eje-x. Por lo general, una función de densidad de probabilidad tendrá cualquier (posiblemente no acotado) intervalo como su dominio.
Supóngase, como en la sección anterior, que deseemos calcular la probabilidad de que un coche alquilado tenga entre 0 y 4 años de edad. Por la tabla,
P(0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png10+Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png26+Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png28+Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png20=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png84Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png
Si miramos la gráfica a la izquierda en la siguiente figura, observamos que podemos obtener los mismo resultado por sumar las áreas de las barras correspondientes, pues cada barra tiene una anchura de 1 unidad.
x
     
P(0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4)= Área sombreada
x
     
P(0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char52.png04f(xdx 
Idealmente (vea la gráfica en la figura más arriba), nuestra función de densidad de probabilidad debe tener la propiedad que la área de abajo su curva para 0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4 es igual a la misma probabilidad; es decir,
P(0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png04f(xdx=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png84 
¿Ahora qué sucede si deseamos calcular P(2Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png3Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)? Lo estimamos en Sección 1 por usar la mitad del rectángulo entre 3 y 4 (vea la próxima figura).
x
     
P(2Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png3Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)= Área sombreada
x
     
P(2Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png3Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char52.png23Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/85/char3A.png5f(xdx 
En cambio, podemos usar la integral definida
P(2Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngxDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png3Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png23Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/85/char3A.png5f(xdx 
Antes de seguir... Aunque no le hemos dado una formula para f(x), desearíamos que f(x) se comporte como descrito más arriba. Hay también algo más que desearíamos: Pues un coche tiene una probabilidad igual a 1 de tener una edad entre 0 y Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char31.png, requerimos
P(0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3C.png+Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char31.png)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png0+Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/85/char31.pngf(xdx=1 

Ejemplo 1 sugiera la siguiente definición:
Función de densidad de probabilidad
Una función de densidad de probabilidad es una función f cuyo dominio es un intervalo (aDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngb) y que tiene las siguientes propiedades:
(a) f(x)Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char15.png0 por toda x
(b) Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.pngabf(xdx=1 
Permitimos que sea infinita aDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngbDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.png o todos dos, como en el ejemplo más arriba, de modo que la integral in (b) sería impropia.
Calculación de probabilidad por una función de densidad de probabilidad
Una variable aleatoria continua X admite una función de densidad de probabilidad f si, por toda c y d,
P(cDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngd)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.pngcdf(xdxDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png    Descripción: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/glossball.gif

Ejemplo Sea f(x)=2x2 en el intervalo [aDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngb]=[1Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.png2]Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png Entonces propiedad (a) se aplique, pues es positiva 2x2 en en intervalo [1Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.png2]Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png Para propiedad (b),
Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.pngabf(xdx=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png122xdx=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char68.pngx2Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char69.png21=−1+2=1 
Si X admite esta función de densidad de probabilidad, entonces
Principio del formulario
P(1Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png2)= Descripción: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/elts/smallblank.gif            

Final del formulario
Note Si X admite una función de densidad de probabilidad f, entonces
P(X=c)=P(cDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngc)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.pngccf(xdx=0 
,
mostrando que es cero la probabilidad de que X asuma cualquier valor especificado.

Descripción: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/exicon.gifEjemplo 2 Normalización
Para cual constante k es f(x)=kex una función de densidad de probabilidad definida en [0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.png1]?
Solución Necesitamos escoger un valor de k para que sean ciertos requisitos (a) y (b) de la definición. Pues exDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3E.png0 para toda x, todo que necesitamos para (a) es que kDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3E.png0. Para (b), calculamos
Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png01kex dx =−Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char68.pngkexDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char69.png10 =kDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char10.png1−e1Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char11.png=ek(e−1)  
Pues esta expresión debe ser igual a 1, obtenemos
ek(e−1)=1que se da k=ee−1Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char19.png1Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png582  
Por lo tanto, la función
f(x)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char10.pngee−1Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char11.pngex 
es una función de densidad de probabilidad sobre [0,1].
Antes de seguir... Sea f cualquier función no negativa con dominio cualquier intervalo (aDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngb), entonces el proceso de escoger una constante apropiada k para que Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char52.pngabkf(xdx=1  se llama normalizando la función f.

Función de densidad uniforme
Una función de densidad uniforme f es una función de densidad de probabilidad que es constante, de modo que es la forma más sencilla de una función de densidad. Pues requerimos f(x)=k para cualquier constante k, requisito (b) en la definición de una función de densidad de probabilidad nos informa que
1=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.pngabf(xdx=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.pngabk dx=(ba)k 
Por tanto, requerimos
k=1ba
En otras palabras, una función de densidad uniforme debe tener la siguiente forma:
Función de densidad uniforme
La función de densidad uniforme en el intervalo [aDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngb][aDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.pngb] es la función constante definida por
f(x)=1baDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png
Su gráfica es una recta horizontal:
xyab1ba
     
Si una variable aleatoria X admite una función de densidad uniforme, decimos que X es distribuida uniformemente o que X tiene una distribución uniforme.
Calculación de probabilidad con una función de densidad uniforme
Pues se calcula probabilidad como área, es bastante fácil calcular probabilidades basadas por distribuciones uniformes:
xyabcd1ba
     
P(cDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngd)= Área del rectángulo sombreado =dcba
Ejemplo
Sea X un número aleatorio entre 0 y 5. Entonces X tiene una distribución uniforme dada por
f(x)=15−0=51
Por lo tanto,
Principio del formulario
P(2Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png4Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png5)=  Descripción: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/elts/smallblank.gif            
Final del formulario
Descripción: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/exicon.gifEjemplo 3 Girando un dial
Supóngase que se gire el dial mostrado en la figura para que para en una posición aleatoria. Modele esto como una apropiada función de densidad de probabilidad, y úsela para calcular la probabilidad de que la aguja pare a cualquier posición entre 5° y 300°.
Descripción: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/cprobexf1.gif
Solución
Definimos X como el ángulo al que la aguja para, de modo que usamos el intervalo [0Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3B.png360] para su rango. Pues todos ángulos son equiprobables, la función de densidad debe ser independiente de x, y por lo tanto debe ser constante. Es decir, tomamos f como uniforme.
f(x)=1ba=1360−0=1360
Por lo tanto,
P(5Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.pngXDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char14.png300)=Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmex10/alpha/120/char5A.png53001360 dx=360300−5=360295Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/120/char19.pngDescripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png8194Descripción: http://www.zweigmedia.com/jsMath/fonts/cmmi10/alpha/120/char3A.png 

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