Hemos visto que un histograma es una manera conveniente de visualizar la
distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria X y
que, si usamos subdivisiones de 1 unidad, entonces la probabilidad P(cXd) se calcula como
la área bajo el histograma entre X=c y X=d.
Por otro lado, hemos también visto que puede ser difícil calcular
probabilidades para rangos de X que no son un número entero de
subdivisiones. Para introducir la solución de este problema, vamos a ver el
siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:
Ejemplo 1 Edad
de un coche alquilado
Una encuesta halla la siguiente
distribución de las probabilidades para le edad de un coche alquilado:
Edad (Años)
|
0-1
|
1-2
|
2-3
|
3-4
|
4-5
|
5-6
|
6-7
|
Probabilidad
|
.10
|
.26
|
.28
|
.20
|
.11
|
.04
|
.01
|
El histograma de la distribución de
probabilidad se muestra a la izquierda de la figura más abajo, sugiriendo una
curva como esta mostrada a la derecha. (Hay muchas curvas parecidas que se
sugiere el histograma. El problema de hallar la curva más apropiada para una
situación específica es un tema que consideremos más abajo.)
x
|
x
|
La curva a la derecha es
la gráfica de cualquier función f, que se llama una función
de densidad de probabilidad. Tomamos para el dominio de f el
intervalo [0+), pues este intervalo es el rango de los
valores posibles que pueden tomar X (en principio). Además,
usamos x para referir a valores particulares de X,
así que no es coincidencia que aquellos valores son mostrados en el eje-x.
Por lo general, una función de densidad de probabilidad tendrá cualquier
(posiblemente no acotado) intervalo como su dominio.
Supóngase, como en la sección anterior,
que deseemos calcular la probabilidad de que un coche alquilado tenga entre 0 y
4 años de edad. Por la tabla,
P(0X4)=10+26+28+20=84
Si miramos la gráfica a la izquierda en la
siguiente figura, observamos que podemos obtener los mismo resultado por sumar
las áreas de las barras correspondientes, pues cada barra tiene una anchura de
1 unidad.
x
P(0x4)= Área sombreada
|
x
P(0x4)=04f(x) dx
|
Idealmente (vea la
gráfica en la figura más arriba), nuestra función de densidad de probabilidad
debe tener la propiedad que la área de abajo su curva para 0X4 es igual a la misma probabilidad;
es decir,
P(0X4)=04f(x) dx=84
¿Ahora qué sucede si deseamos
calcular P(2X35)? Lo estimamos en Sección 1 por usar la
mitad del rectángulo entre 3 y 4 (vea la próxima figura).
x
P(2x35)= Área sombreada
|
x
P(2x35)=235f(x) dx
|
En cambio, podemos usar la integral
definida
P(2x35)=235f(x) dx
Antes de seguir... Aunque no le hemos dado
una formula para f(x), desearíamos que f(x) se
comporte como descrito más arriba. Hay también algo más que desearíamos: Pues
un coche tiene una probabilidad igual a 1 de tener una edad entre 0 y , requerimos
P(0X+)=0+f(x) dx=1
Ejemplo 1 sugiera la siguiente definición:
Función de densidad de probabilidad
Una función de densidad de probabilidad es una
función f cuyo dominio es un intervalo (ab) y que tiene las
siguientes propiedades:
(a) f(x)0 por toda x
(b) abf(x) dx=1
Permitimos que sea infinita ab o todos dos, como en el ejemplo
más arriba, de modo que la integral in (b) sería impropia.
|
Calculación de probabilidad por una función de densidad de probabilidad
Una variable aleatoria continua X admite una función
de densidad de probabilidad f si, por toda c y d,
P(cXd)=cdf(x) dx
Ejemplo Sea f(x)=2x2 en
el intervalo [ab]=[12] Entonces propiedad (a) se aplique,
pues es positiva 2x2 en en intervalo [12] Para propiedad (b),
abf(x) dx=122x2 dx=−x221=−1+2=1
Si X admite esta función de densidad de probabilidad,
entonces
P(15X2)=
|
Note Si X admite una función de densidad de
probabilidad f, entonces
P(X=c)=P(cXc)=ccf(x) dx=0
,
mostrando que es cero la probabilidad de que X asuma
cualquier valor especificado.
Ejemplo 2 Normalización
Para cual constante k es f(x)=ke−x una
función de densidad de probabilidad definida en [01]?
Solución Necesitamos
escoger un valor de k para que sean ciertos requisitos (a) y (b) de
la definición. Pues e−x0 para toda x, todo que
necesitamos para (a) es que k0. Para (b), calculamos
01ke−x dx =−ke−x10 =k1−e1=ek(e−1)
Pues esta expresión debe ser igual a 1,
obtenemos
ek(e−1)=1que se
da k=ee−11582
Por lo tanto, la función
f(x)=ee−1e−x
es una función de densidad de probabilidad
sobre [0,1].
Antes de seguir... Sea f cualquier
función no negativa con dominio cualquier intervalo (ab), entonces el proceso
de escoger una constante apropiada k para que abkf(x) dx=1 se
llama normalizando la función f.
Función de densidad uniforme
Una función de densidad uniforme f es una
función de densidad de probabilidad que es constante, de modo que es la forma
más sencilla de una función de densidad. Pues requerimos f(x)=k para
cualquier constante k, requisito (b) en la definición de una
función de densidad de probabilidad nos informa que
1=abf(x) dx=abk dx=(b−a)k
Por tanto, requerimos
k=1b−a
En otras palabras, una función de densidad uniforme debe tener la siguiente
forma:
Función de densidad uniforme
La función de densidad uniforme en el intervalo [ab][ab] es la función
constante definida por
f(x)=1b−a
Su gráfica es una recta horizontal:
Si una variable aleatoria X admite una función de
densidad uniforme, decimos que X es distribuida uniformemente o
que X tiene una distribución uniforme.
Calculación de probabilidad con una función de
densidad uniforme
Pues se calcula probabilidad como área, es bastante fácil calcular
probabilidades basadas por distribuciones uniformes:
Ejemplo
Sea X un número aleatorio entre 0 y 5. Entonces X tiene
una distribución uniforme dada por
f(x)=15−0=51
Por lo tanto,
P(2X45)=
|
Ejemplo 3 Girando
un dial
Supóngase que se gire el dial mostrado en
la figura para que para en una posición aleatoria. Modele esto como una
apropiada función de densidad de probabilidad, y úsela para calcular la
probabilidad de que la aguja pare a cualquier posición entre 5° y 300°.
Solución
Definimos X como el
ángulo al que la aguja para, de modo que usamos el intervalo [0360] para su rango. Pues todos
ángulos son equiprobables, la función de densidad debe ser independiente
de x, y por lo tanto debe ser constante. Es decir, tomamos f como
uniforme.
f(x)=1b−a=1360−0=1360
Por lo tanto,
P(5X300)=53001360 dx=360300−5=3602958194
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